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Distribución de Poisson

La distribución de Poisson fue propuesta por primera vez por Simeón Poisson en libro publicado en 1837. A medida que pasaron los años, el número de aplicaciones comenzó a aumentar, sobre todo el siglo XX y con la aparición de las computadoras en el siglo XXI permitió incrementarlas aún más. La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta, que describe el número de veces que ocurre un evento durante un intervalo específico; el cual puede ser de tiempo, distancia, área, volumen, entre otros. Por ejemplo, son variables de Poisson: el número de llamadas que recibe una central telefónica en el período de 1 minuto, el número de bacterias en un volumen de 1 litro de agua o el número de fallas en la superficie de una pieza de cerámica rectangular.

Veamos los ejemplos y ejercicios que hemos preparado.

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Veamos este tema a detalle con ayuda de ejemplos y ejercicios.

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1) Introducción

Como les había contado antes, de profesor de matemáticas me va muy mal, por eso paso la mayor parte de mi día trabajando en una veterinaria. Todos los días llegan muchos pacientes, sobre todo perros y gatos, pero han llegado también algunas tortugas, mapaches, serpientes, tiburones, vacas, dinosaurios y patos. Esperamos cada día la llegada de 4 pacientes, pero algunos días llegan más, otros menos.

¿Será posible calcular la probabilidad de que lleguen 3 pacientes en un día? o ¿5 pacientes en un día?

La respuesta es que sí, gracias a la fórmula de la distribución de Poisson. Eso sí, antes de aplicar la fórmula de la distribución de Poisson, tenemos que verificar que nos encontramos ante un experimento de Poisson. Si no estamos en un experimento de Poisson, no podemos aplicar la fórmula.

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2) Experimento de Poisson

En una distribución de Poisson, se cumplen siempre los siguientes supuestos:

i) la variable aleatoria es el número de veces que ocurre un evento durante un intervalo definido. El intervalo puede ser tiempo, distancia, área, volumen o alguna unidad similar.

X = número de veces que ocurre un evento durante un intervalo definido

ii) la probabilidad de ocurrencia es la misma para cualesquiera 2 intervalos de igual longitud.
iii) la ocurrencia o no ocurrencia en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o no ocurrencia en cualquier otro intervalo.
iv) dos eventos no pueden ocurrir exactamente al mismo tiempo. 

Si se cumplen esas condiciones, la variable aleatoria discreta X sigue una distribución de Poisson y podemos aplicar la fórmula de la distribución de Poisson.

Aquí algunos ejemplos típicos de variables aleatorias que siguen una distribución de Poisson:

• El número de clientes que ingresan a un supermercado en un día.
• El número de accidentes registrados en una fábrica durante una semana. 
• El número de llamadas que recibe una central telefónica en el período de un minuto.
• El número de bacterias en un volumen de un litro de agua.
• El número de vehículos que llegan a una gasolinera en una hora.
• El número de fallas en la superficie de una pieza de cerámica rectangular.
• El número de toxinas en partes por millón encontradas en un litro de agua de un río.

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3) Distribución de Poisson

Se dice que una variable aleatoria discreta X tiene una distribución de Poisson con parámetro μ (μ>0) si la función de probabilidad de X es:

f(x)=P(X=x)=e−μ⋅μxx!;    x=0;1;2;3;4;…$$�(�)=�(�=�)=\frac{{�}^{-�}\cdot {�}^{�}}{�!};�=0;1;2;3;4;\dots$$

Donde:

• f(x) = P(X=x) : probabilidad de x ocurrencias en un intervalo.
• μ: valor esperado o media de X.
• e: base de los logaritmos naturales. Su valor es 2,71828…

Además, en una distribución de Poisson:

• La media de X es igual a μ.
• La varianza de X es igual a μ.

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4) Ejemplos

La veterinaria de Jorge recibe un promedio de μ = 4 pacientes por día. Sabiendo que el número de pacientes que llegan en un día sigue una distribución de Poisson, calcular:

a) la probabilidad de que lleguen 3 pacientes en un día.

Primero definimos nuestra variable aleatoria:

X = número de pacientes que llegan en un día.

Además, nos indican que esta variable aleatoria X sigue una distribución de Poisson, entonces podemos aplicar la fórmula:

f(x)=P(X=x)=e−μ⋅μxx!$$�(�)=�(�=�)=\frac{{�}^{-�}\cdot {�}^{�}}{�!}$$

Calculamos la probabilidad de que lleguen 3 pacientes en un día, es decir, f(3). Además, el enunciado nos indica que llegan en promedio 4 pacientes por día, es decir, μ = 4.

f(3)=P(X=3)=e−4⋅433! f(3)=P(X=3)=0,01832⋅643⋅2⋅1 f(3)=P(X=3)=0,1954$$\begin{gathered} �(3)=�(�=3)=\frac{{�}^{-4}\cdot 4^3}{3!} \\ �\left(3\right)=�(�=3)=\frac{0,01832\cdot 64}{3\cdot 2\cdot 1} \\ �(3)=�(�=3)=0,1954 \end{gathered}$$

La probabilidad de que lleguen 3 pacientes en un día es de 0,1954 o 19,54 %.

b) la probabilidad de que lleguen 5 pacientes en un día.

Calculamos la probabilidad de que lleguen 5 pacientes en un día, es decir, f(5). Además, el enunciado nos indica que el enunciado que llegan en promedio 4 pacientes por día, es decir, μ = 4.

f(x)=P(X=x)=e−μ⋅μxx! f(5)=P(X=5)=e−4⋅455! f(5)=P(X=5)=0,01832⋅10245⋅4⋅3⋅2⋅1 f(5)=P(X=5)=0,1563$$\begin{gathered} �(�)=�(�=�)=\frac{{�}^{-�}\cdot {�}^{�}}{�!} \\ �(5)=�(�=5)=\frac{{�}^{-4}\cdot 4^5}{5!} \\ �\left(5\right)=�(�=5)=\frac{0,01832\cdot 1024}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \\ �(5)=�(�=5)=0,1563 \end{gathered}$$

La probabilidad de que lleguen 5 pacientes en un día es de 0,1563 o 15,63 %.

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5) Guía de ejercicios

Desde el botón que viene a continuación, podrás descargar la guía de ejercicios de la distribución de Poisson:

 

EJERCICIOS DE POISSON

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6) Videos

Veamos las clases de distribución de Poisson

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Referencias

Para elaborar este artículo, hemos empleado las siguientes referencias:

• Devore, J., 2018. Fundamentos de probabilidad y estadística. 1ra ed. México: Cengage Learning, pp.124-131.
• Córdova Zamora, M. (2009). Estadística descriptiva e inferencial. 5a ed. Lima: Moshera, pp.268-272.
• Wiśniewski, P., 2014. Estadística y probabilidad. 1ra. ed. México: Editorial Trillas, pp.141-153.
• Lind, D., Marchal, W. y Wathen, S., 2015. Estadística aplicada a los negocios y la economía. 10a ed. México: McGraw-Hill, p.173.
• Newbold, P., Carlson, W. y Thorne, B., 2008. Estadística para administración y economía. 6a ed. Madrid: Pearson Educación, pp.173-178.