Función de distribución acumulativa de una variable aleatoria binomial
Veamos la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria binomial, la cual nos permite resolver de manera rápida muchos problemas de distribución binomial.
Veamos lo que hemos preparado.
1) Función de distribución acumulativa
Para una variable aleatoria X ~ B(n, p), la función de distribución acumulativa está definida por:
Ten en cuenta que la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria binomial se representa mediante F(x), mientras que la función de probabilidad binomial se presenta mediante f(x).
Para calcular las probabilidades acumuladas tienes 2 opciones:
- Calcular cada probabilidad de forma individual.
- Usar la tabla de probabilidades acumuladas (método recomendado).
2) Tabla de probabilidades acumuladas de la distribución binomial
Desde el siguiente botón, podrás descargar la tabla de probabilidades acumuladas de la distribución binomial:
3) Ejemplo
Una moneda cuenta con 2 caras: gato y perro. Si se lanza 4 veces la moneda, calcular la probabilidad de obtener 2 o menos perros.
Solución:
En este ejemplo, un ensayo consiste en lanzar una moneda. Vamos a considerar un éxito si obtenemos un perro, caso contrario, consideraremos un fracaso si obtenemos un gato. El experimento binomial consta de una secuencia de 4 ensayos de estos, pues la moneda se lanza 4 veces. También sabemos que la probabilidad de obtener un éxito (perro) al lanzar una moneda es de 50 % o 0,5.
A partir de aquí definimos nuestra variable aleatoria de interés como:
X = número de perros obtenidos al lanzar la moneda 4 veces.
Entonces:
Recordemos la fórmula:
En este caso, nos piden la probabilidad de obtener 2 o menos perros, por ello calcularemos P(X ≤ 2), es decir, cambiaremos x por 2.
A partir de aquí hay dos caminos, podemos calcular las probabilidades de forma individual o podemos usar la tabla. Por ahora, usaremos la tabla de probabilidades acumuladas con los siguientes datos:
Y listo:
Otra forma
Si no te gusta usar la tabla, también puedes realizar el cálculo a mano, pero te tomará mucho más tiempo:
Y listo, hemos llegado a la misma respuesta, pero con mucho mayor esfuerzo.
4) Guía de ejercicios
Desde el botón que viene a continuación, podrás descargar la guía de ejercicios de distribución binomial.
5) Videos
Si algo no se entendió, no te preocupes, se terminará de comprender con los siguientes video.
6) Reto
La probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar apruebe cierto examen de estadística es de 0,2. Sea X = el número de estudiantes que aprueban el examen en una muestra aleatoria de tamaño n = 8 , así que X ~ B(8; 0,2).
e) Calcular P(2 < X < 6).
Solución:
7) Referencias
- Devore, J. (2016). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencia (9a ed; pp.114-122). Ciudad de México: Cengage Learning.
- Shafer, D. & Zhang, Z (2012). Beginning Statistics (p.213).
- Lista de los mejores libros de estadística.
