Teorema de Bayes, ejercicios resueltos
El teorema de Bayes expresa la probabilidad de que ocurra el evento A, dado que ha ocurrido B, en función de la probabilidad de que ocurra B dado que ha ocurrido A, de la probabilidad de A y de la probabilidad de B. La fórmula del teorema de Bayes es la siguiente:
Como se puede apreciar, el teorema de Bayes permite calcular la probabilidad de que ocurra un evento, a partir de valores conocidos de otras probabilidades relacionadas al evento.
El teorema o regla de Bayes fue planteado por el matemático y religioso inglés Thomas Bayes. Este teorema fue publicado en el año 1763, dos años después de la muerte de Bayes.
Este teorema lo encontramos de dos formas diferentes, en su forma simple y en su forma extendida, las cuales revisaremos a continuación, además de muchos ejemplos y ejercicios.
Forma simple del teorema de Bayes:
La forma simple de este teorema es la que mencionamos al inicio del artículo y es la siguiente:
Donde:
- A y B son eventos, y además: P(B) ≠ 0.
- P(A|B): es la probabilidad de que ocurra A, dado que ha ocurrido B.
- P(B|A): es la probabilidad de que ocurra B, dado que ha ocurrido A.
- P(A): es la probabilidad de que ocurra A.
- P(B): es la probabilidad de que ocurra B.
El teorema de Bayes expresa la probabilidad de que ocurra el evento A, dado que ha ocurrido B, en función de la probabilidad de que ocurra B dado que ha ocurrido A, de la probabilidad de A y de la probabilidad de B.
En la práctica tiene muchísimas aplicaciones, por ejemplo, conociendo la probabilidad de que una persona tenga fiebre dado que tiene gripe, nos permite calcular la probabilidad de que una persona que tiene gripe, dado que tiene fiebre. Tiene, además, aplicaciones importantísimas en la detección del cáncer y otras enfermedades.
Ejemplo 1:
En la academia de Matemóvil, la probabilidad de que a un alumno seleccionado al azar le guste el helado es del 60 %, mientras que la probabilidad de que a un alumno le guste la torta es del 36 %. Además, se sabe que la probabilidad de que a un alumno le guste la torta dado que le gusta el helado es del 40 %. Calcular la probabilidad de que a un alumno le guste el helado, dado que le gusta la torta.
Solución:
Primero definimos los 2 eventos con los que vamos a trabajar:
- h: que a un alumno le guste el helado.
- t: que a un alumno le guste la torta.
Tenemos los siguientes datos:
- P(h) = 0,6.
- P(t) = 0,36.
- P(t|h) = 0,4.
Nos piden calcular P(h|t).
Aplicamos el teorema de Bayes:
Entonces, la probabilidad de que un alumno le guste el helado dado que le gusta la torta es de 0,6667 o 66,67 %.
Forma extendida del teorema de Bayes:
Esta forma extendida es la que encontrarás en la mayoría de libros de estadística. Emplea las particiones del espacio muestral.
Guía de ejercicios
En la guía de ejercicios de probabilidades, encontrarás algunos ejercicios del teorema de Bayes que resolveremos juntos en los videos que vienen líneas abajo.
Video
A continuación, viene el video que hemos preparado del teorema de Bayes.
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