Función de distribución acumulativa de una variable aleatoria continua
La función de distribución acumulativa es la función que para un valor x, nos da la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que dicho valor x. La función de distribución acumulativa de la variable aleatoria X es la función F(x) = P(X ≤ x). Como aún quedan muchas dudas, mejor veamos algunos ejemplos y ejercicios.
Antes de empezar, recuerda que debes dominar la función de densidad para no pasar apuros en este tema.
1) Introducción
En esta ocasión, vamos a trabajar con los siguientes elementos:
- X: variable aleatoria continua.
- f(x): función de densidad de probabilidad.
- F(x): función de distribución acumulativa.
La función de distribución acumulativa es la función que para un valor x, nos da la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que dicho valor x. Recuerda que a la función de distribución acumulativa la denominamos F(x).
Por ejemplo, si tenemos que calcular F(8), haríamos lo siguiente:
En la siguiente gráfica, tenemos de color celeste a la curva de densidad (gráfica de f(x)), y de color naranja, a F(8).
Es decir, tenemos de color naranja a:
Para calcular el valor del área bajo la curva de densidad a la izquierda de 8, tenemos que usar la integral definida:
Esto fue solo un ejemplo, ahora vamos a ver la forma general y la definición formal.
2) Función de distribución acumulativa
La función de distribución acumulativa es la función que para un valor x, nos da la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que dicho valor x. A la función de distribución acumulativa la denominamos F(x).
A continuación, viene la definición formal:
Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad f(x). La función de distribución acumulativa de X es la función:
De forma gráfica, F(x) es el área bajo la curva de densidad a la izquierda de x. Recordemos que cuando trabajamos con la función de densidad, área es probabilidad.
Además, tenemos algunas fórmulas interesantes que nos servirán para resolver los problemas.
La siguiente fórmula nos permite pasar de la función de distribución acumulativa a la función de densidad de probabilidad:
Recuerda también que, al ser una función acumulativa, esta no puede ser decreciente.
3) Ejemplo
La variable aleatoria continua X tiene la siguiente función de densidad:
Definir y graficar la función de distribución acumulativa de X.
Solución:
Iniciamos graficando la función de densidad para no meternos en problemas.
Como se ve en la gráfica, la curva de densidad tiene 3 tramos bien marcados. Vamos a calcular el valor de F(x) en cada uno de los tramos empleando la siguiente fórmula:
Vuelvo a colocar la colocar la misma función de densidad f(x), pero esta vez como f(t), es lo mismo, no te preocupes.
Partimos con el primer tramo:
Parte 1: si x > 4
Parte 2: si 0 ≤ x ≤ 4
Parte 3: si x > 4
Finalmente, definimos F(x).
Terminamos con la gráfica de F(x).
4) Guía de ejercicios
A continuación, viene una guía con muchos problemas de función de distribución acumulativa:
5) Videos
A continuación, viene el video de introducción a la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria continua.
En este video, veremos como pasar de la función de densidad de probabilidad a la función de distribución acumulativa.
Y terminamos este tema, viendo como ir de la función de distribución acumulativa a la función de densidad de probabilidad:
6) Referencias:
- Devore, J. (2016). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. 9a ed. Ciudad de México: Cengage Learning, pp.194-196.
- Stewart, J. (2012). Cálculo De Una Variable Trascendentes Tempranas. 7ma ed. México, DF: Cengage Learning Editores, p.157.
- Montgomery, D. and Runger, G. (2014). Applied Statistics And Probability For Engineers. 6th ed. USA, p.107.
- Navidi, W. (2006). Estadística para ingenieros. 1a ed. México: McGraw-Hill, pp.102-103.
- Córdova Zamora, M. (2009). Estadística Descriptiva E Inferencial. 5th ed. Lima: Moshera, pp.214-221.
- Orlof, J. and Bloom, J. (2014). Continuous Random Variables. [ebook] MIT, disponible en: https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-05-introduction-to-probability-and-statistics-spring-2014/readings/MIT18_05S14_Reading5b.pdf
