Función de densidad de probabilidad

La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua es una fórmula que ayuda a calcular la probabilidad de que una variable aleatoria continua tenga un valor que esté dentro de un intervalo específico. Como todavía no se entiende mucho, veamos los detalles y los ejercicios resueltos.

Antes de ver la función de probabilidad, recordemos la variable aleatoria continua.

Variable aleatoria continua

Una variable aleatoria continua, es aquella que puede asumir un número incontable de valores. Por ejemplo, si realizamos el experimento de ir a una granja y estudiamos las características de las vaquitas, podemos definir la variable aleatoria B = peso de una vaca en la granja de Jorge (en kilogramos).

Alguna vaquita puede pesar 425,1872 kg; otra puede pesar 612,5874541 kg; otra puede pesar 545,897512121 kg. Si tomamos más vacas, podríamos tener más valores y nunca terminaríamos. Se conoce que el becerro más pequeño tiene un peso de 30 kg, y la vaca más grande tiene un peso de 1000 kg.

Y así, tendríamos un número incontable de valores para el rango de esta variable. El rango de esta variable puede ser cualquier valor dentro del intervalo que va desde 30 kg hasta 1000 kg, por ello, es una variable aleatoria continua.

Función de densidad de probabilidad

Sea X una variable aleatoria continua. Entonces, una función de densidad de probabilidad de X es una función f(x) tal que para dos números cualesquiera a y b con a ≤ b,

La probabilidad de que X asuma un valor en el intervalo [a, b] es el área sobre este intervalo y bajo la gráfica de la función de densidad. Se puede apreciar mejor en la siguiente gráfica:

La gráfica de f(x) se suele llamar curva de densidad.

La función de probabilidad de una variable aleatoria continua siempre cumplirá con estas condiciones:

función de probabilidad variable aleatoria continua

No te asustes con las integrales, dado que estamos en el curso de estadística, las integrales no serán difíciles y en muchos de los casos podemos usar la calculadora para encontrar el valor de estas integrales definidas. En otros casos, el área bajo la curva tendrá forma de triángulo o rectángulo y será muy sencilla de calcular.

Ejemplo 1

A partir de la función de densidad de probabilidad f(x), calcular P(1 ≤ X ≤ 3)

Solución:

En este problema, nos piden calcular P(1 ≤ X ≤ 3). Y con la función de probabilidad de una variable aleatoria continua, las probabilidades se calculan mediante el área bajo la curva, por ello:

Graficamos la función f(x) para que se vea mucho mejor:

Como queremos calcular la probabilidad de que nuestra variable aleatoria discreta X tome un valor entre 1 y 3, entonces sombreamos el área bajo la función f(x) en ese intervalo:

Solo nos queda calcular el valor del área sombreada y en este caso se puede realizar de 2 formas diferentes: mediante la fórmula del rectángulo y mediante la integral definida de f(x) desde x igual a 1 hasta 3.

Con áreas:

Con integrales:

Como verás, obtuvimos el mismo resultado con ambos métodos, una probabilidad de 0,5 o 50%.

Propiedad importante

En la función de probabilidad de una variable aleatoria continua sucede algo bien interesante si queremos calcular la probabilidad de que la variable aleatoria sea igual a un valor puntual c.

La probabilidad se calcula mediante el área bajo la curva pero el área bajo una curva de densidad situada sobre cualquier valor único es 0:

El hecho de que P(X = c) = 0 cuando X es continua nos permite afirmar que la probabilidad de que X quede en algún intervalo entre a y b no depende de si límite inferior a o el límite superior b está incluido en el cálculo de la probabilidad: