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Media, varianza y desviación estándar de una variable aleatoria binomial

Para encontrar la media, la varianza y la desviación estándar de una variable aleatoria binomial, solo tienes que aplicar algunas fórmulas muy sencillas que veremos aquí.

Veamos los ejercicios que hemos preparado.

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Veamos lo que hemos preparado.

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1) Media o valor esperado de una variable aleatoria binomial

La media la representamos mediante μ y es igual al valor esperado E(X). La fórmula es la siguiente:

μ=E(X)=np$$�=�(�)=��$$

No hay que olvidar que la media es una medida de tendencia central. Su interpretación es interesante y algo enredada, te sugiero ver el video que viene líneas abajo.

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2) Varianza de una variable aleatoria binomial

La varianza la representamos mediante σ2 o V(X) y la calculamos con la siguiente fórmula.  

σ2=V(X)=np(1−p)$${�}^2=�(�)=��(1-�)$$

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3) Desviación estándar de una variable aleatoria binomial

La desviación estándar la representamos mediante σ y es la raíz cuadrada de la varianza.

σ=σ2−−√=np(1−p)−−−−−−−−√$$�=\sqrt{{�}^2}=\sqrt{��(1-�)}$$

Recuerda que la varianza y la desviación estándar son medidas de dispersión.

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4) Ejemplo

En una tienda, el 75% de las compras se hacen con tarjeta de crédito. Sea X = el número entre diez compras seleccionadas al azar realizadas con tarjeta de crédito. Entonces X ~ B (10; 0,75).

Calcular:
a) El valor esperado de X.
b) La varianza de X.
c) La desviación estándar de X.

Solución:

Para calcular los parámetros que nos piden, usaremos los valores de n y p. Siento:

• n: número de ensayos. En este caso, n = 10.
• p: probabilidad de éxito. En este caso, p = 0,75.

Estos valores son datos que nos da el enunciado.  

a) Media o valor esperado:

Usamos la siguiente fórmula:

μ=E(X)=np μ=E(X)=10⋅0,75 μ=E(X)=7,5 $$\begin{gathered} �=�(�)=�� \\ �=�\left(�\right)=10\cdot 0,75 \\ �=�(�)=7,5 \end{gathered}$$

Aunque X, el número entre diez compras seleccionadas al azar realizadas con tarjeta de crédito, solo puede tomar valores enteros, su media o valor esperado no tiene que ser un valor entero.

Si se realiza un gran número de experimentos binomiales independientes, siempre con 10 ensayos y una probabilidad de éxito de 0,75, entonces el promedio de los éxitos por experimento se acerca, tiende o se aproxima a 7,5.

b) La varianza de X.

La varianza la calculamos usando esta fórmula:

σ2=V(X)=np(1−p) σ2=V(X)=10⋅0,75⋅(1−0,75) σ2=V(X)=10⋅0,75⋅0,25 σ2=V(X)=1,875 $$\begin{gathered} {�}^2=�(�)=��(1-�) \\ {�}^2=�\left(�\right)=10\cdot 0,75\cdot (1-0,75) \\ {�}^2=�\left(�\right)=10\cdot 0,75\cdot 0,25 \\ {�}^2=�\left(�\right)=1,875 \end{gathered}$$

c) La desviación estándar de X.

Si ya tenemos el valor de la varianza, solo recordaremos que la desviación estándar es la raíz cuadrada positiva de la varianza.

σ=σ2−−√=np(1−p)−−−−−−−−√ σ=1,875−−−−−√ σ=1,3693 $$\begin{gathered} �=\sqrt{{�}^2}=\sqrt{��(1-�)} \\ �=\sqrt{1,875} \\ �=1,3693 \end{gathered}$$

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5) Guía de ejercicios

Desde el siguiente botón, podrás descargar la guía de ejercicios de distribución binomial.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

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6) Video

En este video, vamos a resolver a explicar el ejercicio de arriba y realizaremos la interpretación de la media o valor esperado.

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7) Otras clases de distribución binomial

Si quieres aprender un poco más de la distribución binomial, aquí encontrarás las clases.

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8) Referencias

• Devore, J. (2016). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. 9a ed. Ciudad de México: Cengage Learning, pp. 114-128.
• Anderson, D., Sweeney, D. y Williams, T., 2012. Estadística para negocios y economía. 11a ed. Ciudad de México: Cengage Learning, pp.207-221.
• Johnson, R. y Kuby, P., 2012. Estadística elemental. 11a ed. Ciudad de México: Cengage Learning, pp.243-262.
• Navidi, W. (2006). Estadística para ingenieros. 1a ed. México: McGraw-Hill, pp.195-206.
• Lista de los mejores libros de estadística.