Varianza y desviación estándar para datos agrupados por intervalos

Si necesitamos calcular la varianza y la desviación estándar de un conjunto de datos agrupados por intervalos en un tabla de frecuencias, usaremos las fórmulas que revisaremos en esta clase.

Veamos los ejemplos y ejercicios.

Fórmulas para la varianza y desviación estándar de datos agrupados

varianza y desviación estándar para datos agrupados por intervalos

Donde:

k: número de clases.
fi: frecuencia absoluta de cada clase, es decir, el número de elementos que pertenecen a dicha clase.
xi: marca de clase. Es el punto medio del límite inferior y del límite superior.
σ2: varianza de la población.
σ: desviación estándar de la población.
μ: media de la población.
s2: varianza de la muestra.
s: desviación estándar de la muestra.
x̄: media de la muestra.

Tenemos siempre que fijarnos si estamos trabajando con datos que forman una población o con datos que forman una muestra, pues las fórmulas son diferentes.

En los problemas, seguiremos los siguientes pasos:

Calculamos el número de elementos.
Calculamos las marcas de clase.
Calculamos la media.
Calculamos la varianza.
Calculamos la desviación estándar, que es la raíz cuadrada de la varianza.

Ejemplo 1:

Calcular la varianza y la desviación estándar de una población de niños a partir de la siguiente tabla:

varianza-y-desviación-estándar-para-datos-agrupados-por-intervalos-01

Solución:

En este caso, nos dicen que los datos pertenecen a una población de niños, por lo tanto, usaremos las fórmulas de la población.

Primero calculamos el número de elementos de la población N:

Con ayuda de la tabla, calculamos la suma de las frecuencias fi.

Ahora sí, calculamos N.

Como segundo paso, calcularemos las marcas de clase. Recordemos que la marca de clase xi, es el punto medio del límite inferior y el límite superior de cada intervalo. Se calcula con la siguiente fórmula:

Agregamos una columna más a nuestra tabla para la marca de clase xi:

Como tercer paso, calculamos la media poblacional µ:

Agregamos una columna más a nuestra tabla, dónde colocaremos los valores de xi・fi:

Aplicamos la fórmula:

La media poblacional µ tiene un valor de 4 años.

Como cuarto paso, calculamos la varianza de la población:

Agregamos más columnas a nuestra tabla, buscando la forma de la fórmula de la varianza:

Aplicamos la fórmula de la varianza de la población:

Recuerda que la varianza queda expresada en unidades al cuadrado, por ello, nos queda en años al cuadrado.

Como último paso, calculamos la desviación estándar, recordando que es la raíz cuadrada positiva de la varianza.

El valor de la desviación estándar poblacional σ es de 2,175 años.

Guía de ejercicios

A continuación, encontrarás la guía de ejercicios de medidas de dispersión. Resolveremos los ejercicios de varianza y desviación estándar en los videos.

Varianza y desviación estándar, ejercicios propuestos en PDF.