Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta
Una función de probabilidad de una variable aleatoria discreta es una función que asigna probabilidades a los valores de la variable aleatoria.
Introducción
La fórmula que usaremos para la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta es la siguiente:
Como suena complicado, mejor lo aprendemos con algunos ejemplos.
Vamos a realizar un experimento muy sencillo que consiste en lanzar un dado. Los resultados que podemos obtener los colocamos de forma gráfica:
Definimos la variable aleatoria discreta X:
- X = resultado de lanzar un dado.
Ahora colocamos en una tablita todos los valores posibles del rango de esta variable aleatoria discreta X:
Vamos a asociar cada valor con una probabilidad. En un dado, las probabilidades son bastante sencillas de calcular usando la fórmula de probabilidad:
Ahora colocamos las probabilidades en la tablita:
Y listo, ya tenemos la función de probabilidad de la variable aleatoria X representada en forma de tabla.
Además, una función de probabilidad también se puede representar de manera gráfica mediante un diagrama de barras. En el eje horizontal se colocan los valores de la variable aleatoria y en el eje vertical las probabilidades. En el caso de nuestra función de probabilidad, la gráfica de barras sería la siguiente:
Una función de probabilidad de una variable aleatoria discreta se puede expresar de manera fácil como una tabla o lista que empareja los valores de la variable con sus probabilidades o también mediante una gráfica de barras. Sin embargo, una función de probabilidad de expresa con mayor frecuencia mediante una fórmula.
Por ejemplo, a partir de la tabla de probabilidades de la variable aleatoria X, vamos a encontrar la ecuación de la función de probabilidad de la variable aleatoria X en forma de ecuación:
Como todas las probabilidades son iguales a 1/6, entonces la ecuación de la función de probabilidad de X sería la siguiente:
Y así ya tenemos nuestra función de probabilidad expresada mediante fórmula. Recordemos un poco de teoría:
Una función de probabilidad de una variable aleatoria discreta es una función que asigna probabilidades a los valores de la variable aleatoria. Su fórmula es la siguiente:
Además, la función de probabilidad tiene que cumplir con 2 propiedades:
1) La probabilidad de cada valor de la variable aleatoria debe estar entre 0 y 1.
2) La suma de las probabilidades asignadas a todos los valores de la variable aleatoria debe ser 1.
Estas propiedades seguro te sonarán conocidas, ya que son propiedades que hemos estudiado antes en el capítulo de probabilidades.
Es importante indicar que la función de probabilidad en una variable aleatoria discreta también es llamada función de masa de probabilidad o distribución de probabilidad. En algunos libros indican que la distribución y la función son cosas diferentes, pero la mayoría de autores modernos no realizan distinción entre estos 2 conceptos en el caso de variables aleatorias discretas.
Ejercicios
Determina si la siguiente función es una función de probabilidad. Si lo es, encuentra la función de probabilidad en forma de tabla y el diagrama de barras de la función.
Solución:
Para que f(x) sea una función de probabilidad, se tienen que cumplir las 2 propiedades que mencionamos líneas arriba, vamos a comprobarlo.
Empezamos colocando una tabla con los valores de x:
A continuación, calculamos los valores de f(x), teniendo en cuenta la fórmula del enunciado:
1) Los valores de la función de probabilidad se encuentran entre 0 y 1.
Se cumple la primera propiedad, pues todos los valores de f(x) se encuentran entre 0 y 1.
2) La sumatoria de los valores de f(x) tiene que ser 1:
Veamos si se cumple realizando la sumatoria:
Se cumple la segunda propiedad, ya que la sumatoria de los valores de f(x) es 1.
Como se cumplen las 2 propiedades, entonces podemos concluir que f(x) es una función de probabilidad.
Ahora vamos a encontrar la función f(x) en forma de tabla, partiendo de la tabla que realizamos líneas arriba y simplificando las fracciones:
A continuación, colocamos la misma tabla pero ya ordenada y pasaremos las fracciones a decimales :
Y terminamos con el diagrama de barras de la función:
Guía de ejercicios
A continuación, viene la guía de ejercicios de variables aleatorias en PDF. Resolveremos algunos ejercicios en los videos.
Videos
En el siguiente video, vamos a revisar la teoría de la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta y un ejercicio:
Video 2, ejercicios
A continuación, veremos un ejercicio bien interesante de función de probabilidad de variable aleatoria discreta.
Referencias:
- Johnson, R., & Kuby, P. (2012c). Estadística elemental (11a. ed.). Ciudad de México, México: Cengage Learning, pp. 233.
